I. Логическая эволюция от одного измерения к двум
Точка на числовой оси определяется одним действительным числом, а точка на плоскости существует в двух взаимно перпендикулярных измерениях. После построения прямоугольной системы координат для любой точки $M$ на координатной плоскости существует единственная упорядоченная пара действительных чисел $(x, y)$, соответствующая ей; наоборот, для любой упорядоченной пары действительных чисел $(x, y)$ на координатной плоскости существует единственная точка $M$, соответствующая ей. Этовзаимно однозначное соответствиеявляется основой идеи соединения чисел и геометрии.
упорядоченная пара: пара чисел $a$ и $b$, расположенных в определённом порядке, называется упорядоченной парой, обозначается как $(a, b)$.
«Упорядоченность» означает, что $(x, y) \neq (y, x)$ (если только $x = y$). Порядок определяет направление, которое представляют цифры (горизонтальное или вертикальное смещение).
II. Двустороннее взаимно однозначное соответствие
Это соответствие гарантирует, что «числа» могут точно описывать положение «фигур», а «фигуры» наглядно отражают свойства «чисел», позволяя алгебраически обрабатывать геометрические фигуры на плоскости. Мы можем обобщить эту связь следующим образом:
- использовать числа для решения геометрических задач: вычислять площадь, периметр или определять взаимное расположение фигур с помощью координат.
- использовать геометрию для помощи в работе с числами: понимать свойства функций или решения уравнений через визуальный анализ графиков.